已知A（3，2）、B（-2，1）、C（1，-1）且AP=-2PB（1）证明：△ABC

题目内容：

已知A（3，2）、B（-2，1）、C（1，-1）且AP=-2PB

（1）证明：△ABC是等腰直角三角形

（2）求cos∠AP

C．

最佳答案：

（1）证明：由题意得CA=(2，3)，CB=(-3，2)

因为CA•CB=0，

所以CA⊥CB

所以△ABC是直角三角形

又∵|CA|=4 9=13，|CB|=9 4=13，

∴|CA|=|CB|，

∴△ABC是等腰直角三角形

（2）设点P（x，y），

则AP=(x-3，y-2)，PB=(-2-x，1-y)

∵AP=-2PB，

∴x-3=4 2x且y-2=2y-2，

解得x=-7，y=0，

∴P（-7，0），

∴PC=(8，-1)，PA=(10，2)

∴PA•PC=78，

|PC|=65，|PA|=226，

∴cos∠APC=7865•226=31010．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。