自然数的概念

自然数的概念是：“自然数指非负整数（0，1，2，3，4，……），为免歧义有时也直接以非负整数代替自然数使用。数学中，一般以N代表以自然数组成的集合。

自然数集是一个可数的，无上界的无穷集合。非零自然数即指正整数(1，2，3，4，…… )。”。

自然数只是不小于0的整数（也就是0和正整数），所以自然数有无数个，通常用n表示。

自然数的计数方法是十进制计数法。十进制计数法是每相邻的两个计数单位之间的进率都为十。十进制是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。

自然数的性质有

1、对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：a+0=a;a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的后继者。

如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

同理，乘法运算“×”定义为：a×0=0;a×S(b)=a×b+a自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。

2、有序性。自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

3、无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。

4、传递性：设n1，n2，n3都是自然数，若n1>n2，n2>n3，那么n1>n3。

5、三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1>n2，n1=n2或n1

6、最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm(m>n，m，n都是自然数)的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数;开区间(0，1)是实数集合的非空子集，它也没有最小数。

具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。