数学归纳法几种常见方式

数学归纳法常见方式

第一数学归纳法。确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。

第二倒推归纳法。证明数列前n项和与通项公式的成立。

第三螺旋式归纳法。证明和自然数有关的不等式。

数学归纳法的原理在于：首先证明在某个起点值(正整数或自然数)时命题成立，然后证明可以从任意一个值可以推导到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，可以通过反复使用这个方法验证所有的。这个方法可以用多米诺骨牌来类比。

例如：有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

1、证明第一张骨牌会倒。

2、证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

在高考中，一些与数学归纳法相关的题目往往会与数列结合起来考察，在求数列相关问题时，教师可引导学生采用数学归纳法先假设后证明，清晰地梳理出解题思路，从而求得正确答案。

例如，已知数列{an}，其中a2=6,（an+1+an-1）/(an+1-an+1)=n。

（1）求a1，a3，a4。

（2）求数列的通项公式。

对于第一小问，首先，将n=1，n=2，n=3分别代入上式中，

得(a2+a1-1)/(a2-a1+1)=1①；

（a3+a2-1）/(a3-a2+1)=2 ②；

(a4+a3-1)/（a4-a3+1）=3③；

将已知条件a2=6代入①②式，可求出a1=1，a3=15，再将求出的a3的值代入③式中，得a4=28，便解决了第一小问的问题。这类题目对于学生的思维和逻辑能力要求并不高，在解题过程中，学生们都不难算出答案。

对于第二小问，由于目前所知的条件为数列前四项的具体数值，且除了一个递推公式外无其他信息。此时，教师可引导学生去归纳总结已知信息的规律，通过前四项的结构特征猜想出数列通项，再用数学归纳法先假设后证明，最后得出答案。

关于这道题目，可以将数列的前四项分别写为a1=1*1，a2=2*3，a3=3*5，a4=4*7，观察其结构特征，可以发现前四项的值可以表示为一个正整数与一个奇数的乘积。即：a1=1*(2*1-1)，a2=2*(2*2-1)，a3=3*(2*3-1)，a4=4*(2*4-1)，由此可以推测an=n*(2n-1)。