设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的

题目内容：

设双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点．（如图）

（1）证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2=|OQ•OR|(O为坐标原点)；

（2）若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围．

最佳答案：

（1）设OP的方程为 y=kx，AR的方程为 y=ba(x-a)，

解得OR=(-abak-b，-kabak-b)，同理可得 OQ=(abak b，kabak b)．

∴|OQ•OR|=|-abak-babak b -kabak-bkabak b|=|a2b2(1 k2)|a2k2-b2|．

设OP=(m，n)，则由双曲线方程与OP方程联立解得：m2=a2b2b2-a2k2，n2=k2a2b2b2-a2k2，

∴|OP|2=m2 n2=a2b2b2-a2k2 k2a2b2b2-a2k2=a2b2(1 k2)b2-a2k2，

∵点P在双曲线上，∴b²-a²k²＞0，无论点P在什么位置，总有 |OP|2=|OQ•OR|．

（2）由条件得：a2b2(1 k2)b2-a2k2=4ab，即 k2=4b2-abab 4a2＞0，

∴4b＞a，∴e=ca=a2 b2a＞a2 (a4)2a=174，即 e＞174．

答案解析：

ba

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。