在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足O

题目内容：

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足OP=α•OA β•OB，其中α，β∈R且2α² β²=23．

1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设DM=λDN，求λ的取值范围．

最佳答案：

1）设P（x，y），由条件OP=α•OA β•OB，得α=x y3β=2y-x3，代入2α² β²=23．

可得x22 y2=1，此即为点P的轨迹C的方程

2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx 2，代入椭圆方程得：

（1 2k²）x² 8kx 6=0

因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，

所以△＞0，解得k2＞32

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由维达定理可得x₁ x₂=-8k1 2k2，x₁x₂=61 2k2

由DM=λDN可得x₁=λx₂代入上式可得

λ 1λ 2=(x1 x2)2x1x2=163-163(1 2k2)

因为k2＞32，所以2＜λ 1λ＜103，解得13＜λ＜3且λ≠1

当直线l斜率不存在时，λ=13

又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1

所以λ的取值范围是[13，1)

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。