（本小题满分13分）如图6所示，在直角坐标平面上的矩形中，，，点，满足，，点是关于原

题目内容：

（本小题满分13分）

如图6所示，在直角坐标平面上的矩形

中， ， ，点 ， 满足 ， ，点 是 关于原点的对称点，直线 与 相交于点 ．

（Ⅰ）求点

的轨迹方程；

（Ⅱ）若过点

的直线与点 的轨迹相交于 ， 两点，求 的面积的最大值．

图6

最佳答案：

（1）

（2）

答案解析：

（Ⅰ）设点

的坐标为 ，由图可知 ， ， ， ．

由

，得点 的坐标为 ；

由

，得点 的坐标为 ．…… 分

于是，当

时，直线 的方程为 ，……①

直线

的方程为 ．……②

①

②，得 ，即 ．

当

时，点 即为点 ，而点 的坐标 也满足上式．

故点

的轨迹方程为 ．…… 分

（Ⅱ）设过点

的直线 的方程为 ，且设 ， ．

由

得 ．……③

由于上述方程的判别式

，所以 ， 是方程③的两根，

根据求根公式，可得

．

又

，所以 的面积 ．…… 分

令

，则 ．

于是

， ．

记

， ，则 ．

因为当

时， ，所以 在 上单调递增．

故当

时， 取得最小值 ，此时 取得最大值 ．

综上所述，当

时，即直线 垂直于 轴时， 的面积取得最大值 ．

……

分

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。