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已知:|a|=2,|b|=3,a和b的夹角为45°,求:(1)当向量a λb与λa

时间:2024-04-24 07:44:37 栏目:学习方法
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题目内容:

已知:|a|=2,|b|=3,a和b的夹角为45°,求:

(1)当向量a λb与λa b的夹角为钝角时,λ的取值范围;

(2)当λ=-2时,向量a λb与λa b的夹角的余弦值.

最佳答案:

(1)∵a λb与λa b的夹角为钝角,知(a λb)•(λa b)<0且a λb≠t(λa b),(t<0)

由(a λb)•(λa b)<0得3λ2 11λ 3<0

解得-11-856<λ<-11 856;

当a λb=t(λa b),(t<0)时,由a与b不共线知1=tλλ=t,解得λ=t=-1(1舍去)

所以λ的取值范围是-11-856<λ<-1或-1<λ<-11 856;

(2)当λ=-2时|a λb|=|a-2b|=(a-2b)2=a2 4b2-4a•b=26

|λa b|=|-2a b|=(-2a b)2=4a2 b2-2ab=5

(a λb)•(λa b)=(a-2b)•(-2a b)=-2a2-2b2 5ab=-7

所以cosθ=-7265=-7130130

考点核心:

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用:

(1)证明线段相等平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义;

(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用到向量共线的条件;

(3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件;

1、向量在三角函数中的应用:

(1)以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题;

(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用: 由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的加法相类似,可以用向量方法来解决,力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用:

(1)以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题;

(2)以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。

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