设a=(cos(θ-π6)，sin(θ-π6))，b=(2cos(θ π6)，2si

题目内容：

设a=(cos(θ-π6)，sin(θ-π6))，b=(2cos(θ π6)，2sin(θ π6))．

（1）若向量(2tb 7a)与向量(b ta)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；

（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2tb mta(m为常数，且m＞0）的模的最小值．

最佳答案：

（1）由题设易得|a|=1，|b|=2，a•b=2cos[(θ-π6)-(θ π6)]=2cos(-13π)=1

∴(2tb 7a)•(b ta)=2t|b|2=2t|b|² 2ta•b 7a•b 7t|a|2＞0

整理可得，2t² 15t 7＞0

∴t＞-12或t＜-7

又当2tb 7a与b ta共线时，不满足题意．

令2tb 7a=λ(b ta)

则2t=λ7=tλ∴t=±142

∴t＞-12或t＜-7，且t≠±142（6分）

（2）∵(2bt mta)2=4t2|b|2 4ma•b m2t2|a|2

=16t2 m2t2 4m

令y=16t2 m2t2 4mt∈（0，1]

∵y=16t2 m2t2 4m≥8m 4m=12m

当且仅当t=m2

于是①当m2∈(0，1]即0＜m≤4时

当且仅当t=m2时，y_min=12m．从而|2tb mta|=23m

②当m2＞1即m＞4时

可证y=16t2 m2t2 4m在（0，1]为减函数

从而当t=1时，y_min=m² 4m 16

∴|2tb mta|min=m2 4m 16（6分）

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。