已知椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,过右焦点F且斜率为1
时间:2024-04-24 03:08:45 栏目:学习方法题目内容:
已知椭圆C:x2a2 y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点,O为坐标原点.
(1)求直线ON的斜率kON;
(2)对于椭圆C上的任意一点M,设OM=λOA μOB(λ∈R,μ∈R),求证:λ2 μ2=1.
最佳答案:
(1)设椭圆的焦距为2c,
因为ca=63,所以有a2-b2a2=23,故有a2=3b2.
从而椭圆C的方程可化为x2 3y2=3b2①
∴右焦点F的坐标为(2b,0),
据题意有AB所在的直线方程为:y=x-2b.②
由①,②有:4x2-62bx 3b2=0.③
设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点N(x0,y0),由③及韦达定理有:x0=324b,y0=x0-2b=-24b
所以kON=y0x0=-13,即为所求.…(6分)
(2)证明:显然OA与OB可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量OM,有且只有一对实数λ,μ,使得等式OM=λOA μOB成立.
设M(x,y),由(1)中各点的坐标有:(x,y)=λ(x1,y1) μ(x2,y2),
故x=λx1 μx2,y=λy1 μy2.…(8分)
又因为点M在椭圆C上,所以有(λx1 μx2)2 3(λy1 μy2)2=3b2
整理可得:λ2(x12 3y12) μ2(x22 3y22) 2λμ(x1x2 3y1y2)=3b2.④
由③有:x1 x2=322b,x1x2=34b2.
所以x1x2 3y1y2=3b2-9b2 6b2=0⑤
又点A,B在椭圆C上,故有x12 3y12=x22 3y22=3b2.⑥
将⑤,⑥代入④可得:λ2 μ2=1.…(13分)
答案解析:
ca
考点核心:
平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用:
(1)证明线段相等平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义;
(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用到向量共线的条件;
(3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件;
1、向量在三角函数中的应用:
(1)以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题;
(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用: 由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的加法相类似,可以用向量方法来解决,力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用:
(1)以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题;
(2)以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。
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