在△ABC中，（1）若CA=a，CB=b，求证：S△ABC=12(|a||b|)2-

题目内容：

在△ABC中，（1）若CA=a，CB=b，求证：S_△ABC=12(|a||b|)2-(a•b)2；

（2）若CA=（a₁，a₂），CB=（b₁，b₂），求证：△ABC的面积S_△=12|a₁b₂-a₂b₁|．

最佳答案：

证明：

（1）设a、b的夹角为θ，△ABC的面积S_△=12|CA||CB|sinθ=12|a||b|sinθ．

∵sin²θ=1-cos²θ=1-（a•b|a||b|）²，

∴S_△²=14（|a||b|）²sin²θ

=14（|a||b|）²[1-（a•b|a||b|）²]

=14[（|a||b|）²-（a•b）²]．

∴S_△=12(|a||b|)2-(a•b)2．

（2）记CA=a，OB=b，则a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂）．

∴|a|²=a₁² a₂²，|b|²=b₁² b₂²，

|a•b|²=（a₁b₁ a₂b₂）²．

由（1）可知S_△=12(|a||b|)2-(a•b)2

=12(a12 a22)(b12 b22)-(a1b1 a2b2)2

=12(a1b2-a2b1)2，

∴S_△=12|a₁b₂-a₂b₁|．

答案解析：

12

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。