在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（4，0）和点B（6，2），且圆C总被直线

题目内容：

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A（4，0）和点B（6，2），且圆C总被直线x 2y-6=0平分其面积，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆C相交于不同的两点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）求k的取值范围；

（Ⅲ）是否存在常数k，使得向量OM ON与PC共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

最佳答案：

（Ⅰ）AB的中垂线方程为y=x-4…（1分）

联立方程y=x-4x 2y-6=0解得x=6y=0即圆心坐标（6，0）…（1分）

半径为（4，0）与（6，0）的距离即2

故圆的方程为（x-6）² y²=4…（3分）

（Ⅱ）由直线y=kx 2与圆相交，得圆心C到直线的距离小于半径

∴|kx 2|1 k2＜2⇒-34＜k＜0…（7分）

（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

OM ON=(x1 x2，y1 y2)，PC=(6，-2)

因为OM ON与PC共线，

所以6(y1 y2) 2(x1 x2)=0⇒(3k 1)(x1 x2) 12=0⇒k=-34

由第（Ⅱ）问可知，直线不存在．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。