．如图，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|

题目内容：

．如图，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|，E为AC上一点，且

。又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点。若 ，则双曲线离心率e的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

最佳答案：

A

答案解析：

分析：如图，在直角坐标系中，记双曲线的半焦距为c（c=2），h是梯形的高，用定比分点坐标公式可求得E点坐标x₀和y₀的表达式．设双曲线方程，将点C、E坐标和e分别代入双曲线方程联立后求得e和h的关系式，根据λ的范围求得e的范围．

解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，

设c为双曲线的半焦距（c=2），

依题意，记 A(-c，0)，C(

，h)，E(x ₀，y ₀)，

h是梯形的高，

由定比分点坐标公式得 x₀=

= ，γ ₀= ．

设双曲线的方程为

- =1，则离心率 e= ，

由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和 e=

代入双曲线的方程，得 - =1，① ( ) ²-( ) ² =1．②

由①式得

=-1，③

将③式代入②式，整理得

(4-4λ)=1 2λ，

故 λ=1-

由题设

≤λ≤ 得， ≤1- ≤ ，

解得

≤e≤ ，

所以，双曲线的离心率的取值范围为[

， ]．

故选A．

考点核心：

平面向量在几何、物理中的应用

1、向量在平面几何中的应用：

（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；

（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；

（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；

1、向量在三角函数中的应用：

（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；

（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。

2、向量在物理学中的应用： 由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。

3、向量在解析几何中的应用：

（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；

（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。