题目内容:
已知
为空间的一个基底,且
,
,
,
(1)判断
四点是否共面;
(2)能否以
作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量
最佳答案:
(1)四点不共面;
(2)
.
答案解析:
本试题主要是考查了空间向量中四点共面的问题,以及判定空间向量的基底的定义的运用。
(1)假设四点共面,则存在实数
使
,
且
,那么可以根据这个结论得到方程组,求解判定不成立。
(2)利用不同面的三个向量可以充当空间的基底,那么我们可以得到,判定
解:
(1)假设四点共面,则存在实数
使
,
且
,
即
.…4分
比较对应的系数,得一关于
的方程组
解得
与
矛盾,故四点不共面;……………6分
(2)若向量
,
,
共面,则存在实数
使
,
同(1)可证,这不可能,
因此
可以作为空间的一个基底,
令
,
,
,
由
,
,
联立得到方程组,
从中解得
………………10分所以
考点核心:
平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用:
(1)证明线段相等平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义;
(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用到向量共线的条件;
(3)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件;
1、向量在三角函数中的应用:
(1)以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题;
(2)通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用: 由于力、速度是向量,它们的分解与合成与向量的加法相类似,可以用向量方法来解决,力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用:
(1)以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题;
(2)以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。